哈希表等概率情况下查找成功和查找不成功的平均查找长度的计算

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最近复习了下数据结构中的哈希表，发现在计算等概率情况下查找不成功的平均查找长度时比较迷茫，不知道到底是怎么计算出来的。现在通过查阅资料终于知道如何计算了，所以记录下来以供以后查阅。文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

下面看下2010年2010年全国硕士研究生入学统一考试计算机科学与技术学科联考计算机学科专业基础综合试题中一个考哈希表的题。文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

Question1:文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

将关键字序列（7、8、30、11、18、9、14）散列存储到散列表中。散列表的存储空间是一个下标从0开始的一维数组，散列函数为：      H(key) = (keyx3) MOD 7，处理冲突采用线性探测再散列法，要求装填（载）因子为0.7。文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

(1) 请画出所构造的散列表。文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

(2) 分别计算等概率情况下查找成功和查找不成功的平均查找长度。文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

Ans：文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

(1).首先明确一个概念装载因子，装载因子是指所有关键子填充哈希表后饱和的程度，它等于 关键字总数/哈希表的长度。 根据题意，我们可以确定哈希表的长度为 L = 7/0.7 = 10；因此此题需要构建的哈希表是下标为0~9的一维数组。根据散列函数可以得到如下散列函数值表。文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

H(Key) = (keyx3) MOD 7, 例如key=7时， H(7) = (7x3）%7 = 21%7=0，其他关键字同理。文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

(表1)文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

采用线性探测再散列法处理冲突，所构造的散列表为：文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

(表2)文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

下面对散列表的构造方式加以说明，注意表1中的关键字7和14，30和9， 11和18，这三组关键子的H(Key)值相同，这在构建散列表时就会产生冲突，因为他们的地址相同，所以要通过一定的冲突处理方法来解决这个问题。依题，采用线性探测再散列法处理冲突。下面详细介绍如何构建散列表：文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

第一个key 7，它的地址是0，因此放到散列表的数组下表为0的位置，这个位置上没有关键字，因此没有冲突可以直接填入；文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

第二个key 8，它的地址是3，因此放到散列表的数组下表为3的位置，这个位置上没有关键字，因此没有冲突可以直接填入；文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

第三个key 30，它的地址是6，因此放到散列表的数组下表为6的位置，这个位置上没有关键字，因此没有冲突可以直接填入；文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

第四个key 11，它的地址是5，因此放到散列表的数组下表为5的位置，这个位置上没有关键字，因此没有冲突可以直接填入；文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

第五个key 18，它的地址是5，因此放到散列表的数组下表为5的位置，但这个位置上已经有关键字11，遇到了冲突，此时我们根据线性探测再散列法来处理这个冲突，探测下一个位置6, 6这个位置上已经存在关键字30则继续增加步长1，因此现在的新地址应为7，位置7上没有关键字，放入即可，到此冲突已经解决；文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

第六个key 9，它的地址是6，因此放到散列表的数组下表为6的位置，但这个位置上已经有关键字30，遇到了冲突，探测下一个位置7, 7这个位置上已经存在关键字18则继续增加步长1，因此现在的新地址应为8，位置8上没有关键字，放入即可；文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

第七个key 14，它的地址是0，因此放到散列表的数组下表为0的位置，但这个位置上已经有关键字7，遇到了冲突，探测下一个位置1, 位置1上没有关键字，放入即可；文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

到这一步所有关键字均已填入，散列表已经构造完成，如表2所示。文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

（2）等概率情况下查找成功平均查找长度：文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

这一问可以根据第一问的构造过程求解：文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

key7一次就填入了表中，因此查找次数为1，同理8， 30， 11查找次数均为1； key18 进行了3次放入操作，探测位置分别是5，6，7 ，因此查找次数为3；key9也是3次；key14 进行了两次探测，因此查找次数为2。次数表如表3所示文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

(表3)文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

所以ASLsuccess= （1+1+1+1+3+3+2）/ 7 = 12/7。文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

等概率情况下查找不成功的平均查找长度：文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

接下来讨论不成功的情况, 看表2，计算查找不成功的次数就直接找关键字到第一个地址上关键字为空的距离即可， 但根据哈希函数地址为MOD7，因此初始只可能在0~6的位置。等概率情况下，查找0~6位置查找失败的查找次数为：文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

看地址0，到第一个关键字为空的地址2的距离为3，因此查找不成功的次数为3.文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

地址1， 到第一个关键为空的地址2的距离为2，因此查找不成功的次数为2.文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

地址2，  到第一个关键为空的地址2的距离为1，因此查找不成功的次数为1.文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

地址3，到第一个关键为空的地址4的距离为2，因此查找不成功的次数为2.文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

地址4，到第一个关键为空的地址4的距离为1，因此查找不成功的次数为1.文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

地址5，到第一个关键为空的地址2(注意不是地址9，因为初始只可能在0~6之间，因此循环回去)的距离为5，因此查找不成功的次数为5.文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

地址6，到第一个关键为空的地址2(注意不是地址9，因为初始只可能在0~6之间，因此循环回去)的距离为4，因此查找不成功的次数为4.文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

因此查找不成功的次数表如下表所示文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

(表4)文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html

所以ASLunsuccess= （3+2+1+2+1+5+4）/ 7 = 18/7。文章源自联网快讯-https://x1995.cn/1304.html